카-드 구매하기

카-드 구매하기

백준 11052번 문제

https://www.acmicpc.net/problem/11052

11052번: 카드 구매하기

 

 

 

 

1. 문제

요즘 민규네 동네에서는 스타트링크에서 만든 PS카드를 모으는 것이 유행이다.

PS카드는 PS(Problem Solving)분야에서 유명한 사람들의 아이디와 얼굴이 적혀있는 카드이다. 각각의 카드에는 등급을 나타내는 색이 칠해져 있고, 다음과 같이 8가지가 있다.

• 전설카드
• 레드카드
• 오렌지카드
• 퍼플카드
• 블루카드
• 청록카드
• 그린카드
• 그레이카드

카드는 카드팩의 형태로만 구매할 수 있고, 카드팩의 종류는 카드 1개가 포함된 카드팩, 카드 2개가 포함된 카드팩, ... 카드 N개가 포함된 카드팩과 같이 총 N가지가 존재한다.

민규는 카드의 개수가 적은 팩이더라도 가격이 비싸면 높은 등급의 카드가 많이 들어있을 것이라는 미신을 믿고 있다. 따라서, 민규는 돈을 최대한 많이 지불해서 카드 N개 구매하려고 한다. 카드가 i개 포함된 카드팩의 가격은 Pi원이다.

예를 들어, 카드팩이 총 4가지 종류가 있고, P1 = 1, P2 = 5, P3 = 6, P4 = 7인 경우에 민규가 카드 4개를 갖기 위해 지불해야 하는 금액의 최댓값은 10원이다. 2개 들어있는 카드팩을 2번 사면 된다.

P1 = 5, P2 = 2, P3 = 8, P4 = 10인 경우에는 카드가 1개 들어있는 카드팩을 4번 사면 20원이고, 이 경우가 민규가 지불해야 하는 금액의 최댓값이다.

마지막으로, P1 = 3, P2 = 5, P3 = 15, P4 = 16인 경우에는 3개 들어있는 카드팩과 1개 들어있는 카드팩을 구매해 18원을 지불하는 것이 최댓값이다.

카드 팩의 가격이 주어졌을 때, N개의 카드를 구매하기 위해 민규가 지불해야 하는 금액의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오. N개보다 많은 개수의 카드를 산 다음, 나머지 카드를 버려서 N개를 만드는 것은 불가능하다. 즉, 구매한 카드팩에 포함되어 있는 카드 개수의 합은 N과 같아야 한다.

 

입력

첫째 줄에 민규가 구매하려고 하는 카드의 개수 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000)

둘째 줄에는 Pi가 P1부터 PN까지 순서대로 주어진다. (1 ≤ Pi ≤ 10,000)

 

출력

첫째 줄에 민규가 카드 N개를 갖기 위해 지불해야 하는 금액의 최댓값을 출력한다.

 

 

예제 입력 1 

4
1 5 6 7

예제 출력 1 

10

 

 

예제 입력 2 

5
10 9 8 7 6

예제 출력 2 

50

 

 

예제 입력 3 

10
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55

예제 출력 3 

55

 

 

 

 

 

2. 풀이

카드 N개를 갖기 위해 지불해야 하는 최대 금액을 d(N), 카드 i개가 들어있는 팩의 가격을 p(i)라고 하자.

이 때 먼저 카드 1개를 산다면 내가 지불해야 하는 최대 금액은 p(1) + d(N - 1)이 된다.

왜냐하면 카드를 1개 구입했으므로 앞으로 사야 하는 카드는 N - 1개이고 카드를 N - 1개 갖기 위해 지불해야 하는 최대금액은 d(N - 1)이기 때문이다.

이와 같이 먼저 카드 2개를 산다면 지불 최대금액은 p(2) + d(N - 2), 3개면 p(3) + d(N - 3), i개면 p(i) + d(N - i)가 된다.

 

즉, d(N)은 처음에 고른 i개 카드팩의 금액 + N -  i개 카드를 갖기위해 지불해야하는 최대 금액의 최댓값이 된다.

 

[d(n) 점화식]

d(n) = max[p(i) + d(n - i)] (0 < i < n)

 

또한 d(n)은 주어진 p에 대해서 어떤 상황이든 항상 같은 값을 갖기 때문에 한번 값을 구했다면 그 값을 호출하는 것으로 연산을 줄일 수 있다.

 

 

 

■ 입력

[입력]

static int[] d;
static int[] p;

public static void main(String[] args) {
    Scanner scanner = new Scanner(System.in);

    int n = scanner.nextInt();

    d = new int[n + 1];
    p = new int[n + 1];

    for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
        p[i] = scanner.nextInt();
    }
    
    .
    .
    .
}

● d[n] : n개의 카드를 갖기 위해 지불할 수 있는 최대 금액을

● p[n] : n개의 카드가 들어있는 카드팩의 가격

● 입력받은 카드 개수 n으로 d[n]과 p[n]을 생성

● 카드팩의 가격을 입력받아 p[n]을 채워준다.

 

 

 

■ dp

[출력]

System.out.println(dp(n));

d[n]값을 반환하는 dp()메서드를 사용해서 d[n]값을 구하고 출력한다.

 

 

[dp]

public static int dp(int n) {   //[1]
    if (n <= 0) {   //[2]  
        return 0;
    }
    if (d[n] != 0) {   //[3]
        return d[n];
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) {   //[4]
        int total_price = p[i] + dp(n - i);   //[5]

        if (total_price > d[n]) {   //[6]
            d[n] = total_price;
        }
    }
    return d[n];
}

● [1]  : dp(n)은 d[n]의 값을 계산하고 반환한다.

● [2] : n이 0과 같거나 작다면 0을 반환한다(d[0] = 0).

● [3] : d[n]값이 0이 아니라면 이미 계산된 d[n]값이 있다는 뜻이기 때문에 즉시 d[n]을 반환한다.

● [4] : 1부터 n까지 반복문을 돌리며 p[i] + d[n - i] 값을 구한다.

● [5] : 이때 d[n - i]의 값은 dp(n - i)(= d[n - i))를 호출해서 재귀적으로 구한다. 

● [6] :반복문을 돌며 계산된 값으로 d[n]을 최댓값으로 갱신해준다.

 

 

 

■ 전체 코드

[전체 코드]

import java.util.Scanner;

public class Main {

    static int[] d;
    static int[] p;

    public static int dp(int n) {
        if (n <= 0) {
            return 0;
        }
        if (d[n] != 0) {
            return d[n];
        }

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            int total_price = p[i] + dp(n - i);

            if (total_price > d[n]) {
                d[n] = total_price;
            }
        }
        return d[n];
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);

        int n = scanner.nextInt();

        d = new int[n + 1];
        p = new int[n + 1];

        for (int i = 1; i < n + 1; i++) {
            p[i] = scanner.nextInt();
        }

        System.out.println(dp(n));
    }
}